સંકલન $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}+2x+5}$ ની કિંમત શોધો.

(D) આપણને સંકલન $I = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}+2x+5}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,છેદમાં પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $x^{2}+2x+5 = (x^{2}+2x+1) + 4 = (x+1)^{2} + 2^{2}$.
તેથી,$I = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{(x+1)^{2} + 2^{2}}$.
ધારો કે $u = x+1$,તો $du = dx$.
સંકલનની સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે $x = -1$,ત્યારે $u = -1+1 = 0$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $u = 1+1 = 2$.
હવે,સંકલન $I = \int_{0}^{2} \frac{du}{u^{2} + 2^{2}}$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{u}{2}) \right]_{0}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{2}{2}) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{0}{2})$
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1}(1) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(0)$
$I = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2} (0) = \frac{\pi}{8}$.